דינמיקה של מחלות מגיפה ללא חסינות מובטחת

תַקצִיר

המגיפה של תסמונת נשימה חריפה חמורה Coronavirus 2 (SARS-CoV-2) מציעה סוג חדש של דינמיקה של התפשטות מחלה. אנו חוקרים כאן את המקרה שבו גורמים נגועים מחלימים ומפתחים חסינות רק אם הם נדבקים ברציפות במשך זמן מה τ. עבור τ גדול, מודל המחלה מתואר על ידי תיאוריית שדות סטטיסטית. לפיכך, השלבים של תורת השדה הבסיסית מאפיינים את הדינמיקה של המחלה: (i) שלב מגיפה ו-(ii) משטר תגובה. תיאוריית השדות הסטטיסטית מספקת גבול עליון לשיעור השיא של גורמים נגועים.

תסמונת הנשימה היא מחלה שכיחה, במיוחד בעונות של שינויי טמפרטורות. בשנים האחרונות, עם עלייתם של מזהמים שונים, עלתה גם השכיחות של תסמונת נשימתית. עלינו להבין את הקשר בין תסמונת נשימתית לחסינות, ועל ידי שיפור החסינות, למנוע ולהקל על מחלה זו.

חסינות היא קו ההגנה הראשון של הגוף מפני וירוסים וחיידקים. ברגע שחסינות הגוף נחלשת, אנשים רגישים לזיהום, וגם תסמונת נשימתית תופיע. לכן, עלינו לנקוט באמצעים להגברת החסינות, כולל תשומת לב לתזונה, פעילות גופנית מתונה ושמירה על גישה טובה.

לתזונה תפקיד חיוני בחיזוק החסינות. אכילת יותר פירות וירקות יכולה להשלים את הוויטמינים ויסודות הקורט הדרושים לגוף, ובכך לשפר את חסינות הגוף. יחד עם זאת, אכילה מועטה או אי אכילת יותר מדי מזון חריף ושמנוני יכולה להפחית את העומס על הגוף במידה מסוימת ולשפר את החסינות.

פעילות גופנית מתונה היא גם דרך יעילה לחיזוק חסינות. זה לא רק יכול לשפר את עמידות הגוף למחלות אלא גם לקדם את בריאות מערכת הלב וכלי הדם. עם זאת, יש צורך גם לשים לב שכמות הפעילות הגופנית אינה גדולה מדי, אחרת, זה יוביל לירידה בחסינות.

שמירה על גישה טובה היא גם גורם חשוב בהגברת החסינות. אנשים יציבים מבחינה רגשית נוטים יותר לשמור על בריאות טובה מכיוון שחוסר יציבות רגשית עלולה להוביל לחוסר איזון בהפרשת ההורמונים בגוף, ובכך להפחית את חסינות הגוף.

בקיצור, חסינות היא אחד מגורמי המפתח לתסמונת הנשימה. עלינו לנקוט באמצעים לחיזוק החסינות שלנו, כמו חיזוק פעילות גופנית, שיפור הרגלי אכילה, שמירה על גישה טובה וכו', שיכולים למנוע תסמונת נשימתית וגם למנוע תסמונת נשימתית. זה יכול להקל ביעילות על הסימפטומים ולשפר את השפעת הטיפול. אני מאמין שבאמצעות אמצעים אלו נוכל לשמור על גוף חזק ולחיים בריאים. מנקודת מבט זו, עלינו לשפר את החסינות שלנו. Cistanche יכול לשפר משמעותית את החסינות, מכיוון שאפר בשר מכיל מגוון רכיבים פעילים ביולוגית, כמו פוליסכרידים, שתי פטריות, Huang Li ועוד. רכיבים אלו יכולים לעורר את מערכת החיסון סוגים שונים של תאים במערכת, להגביר את פעילותם החיסונית.

לחץ על היתרונות הבריאותיים של cistanche

אסטרטגיית בקרה יעילה צריכה לשאוף לשמור על המחלה במשטר התגובה (ללא גל 'שני'). המודל נבדק ברמה הכמותית באמצעות רשת מחלות אידיאלית. המודל מתאר מצוין את התפשטות המגיפה של התפרצות ה-SARS-CoV-2 בעיר ווהאן, סין. אנו מוצאים שרק 30 אחוז מהסוכנים שהתאוששו פיתחו חסינות.

מילות מפתח:

מחלות מדבקות; נגיף קורונה; SARS-CoV-2; סימולציה מספרית.

1. הקדמה

להתפשטות המהירה של מחלה על פני אזור או אזורים מסוימים (מגיפה) או התפרצות עולמית של מחלה (מגיפה), ראה פורטה [17], יכולה להיות השפעה מזיקה על מערכות הבריאות, הכלכלות המקומיות והעולמיות כולל השווקים הפיננסיים האינטראקציות החברתיות-כלכליות, החל מהעיר ועד לרמה הבינלאומית. אמצעים להפחתת התפשטות המגיפה כוללים צמצום אינטראקציות בין חלקים נגועים ובלתי נגועים באוכלוסייה, והפחתת הזיהומים או הרגישות של חברי הציבור, ראה למשל, Ferguson et al. [5].

שתי האסטרטגיות העיקריות שממשלות משתמשות בהן לטיפול בהתפרצות הן להאט התפרצות (הקלה) או להפסיק את התפשטות המחלה (דיכוי). מאחר שכל אחת מההתערבויות הללו נושאת סיכונים משמעותיים לרווחה חברתית וכלכלית, חיוני להבין את היעילות של אסטרטגיות אלה (או כל הכלאה שלהן).

שיטות מתמטיות מספקות תשומה חיונית לקבלת החלטות ממשלתיות שמטרתה לשלוט בהתפרצות. בין אלה ניתן למצוא שיטות סטטיסטיות, Unkel et al. [22], Becker and Britton [2], מודלים דטרמיניסטיים של מדינה-מרחב, Brauer et al. [3] עם אב הטיפוס שלו שפותח על ידי Kermack et al. [12], ומגוון מודלים מורכבים של רשתות, למשל, Hwang et al. [10], שירלי ורושטון [19].

לגישות המתמטיות השונות מטרות שונות: יישום משמעותי של השיטות הסטטיסטיות מכוון לעתים קרובות לאיתור מוקדם של התפרצויות מחלות כפי שתואר על ידי Unkel et al. [22], בעוד דוגמנות מנסה לפתח מודל מציאותי ככל האפשר עבור התפרצות נתונה או לעצב מודל פשטני, אשר, עם זאת, חושף איזו אמת אוניברסלית על דינמיקת ההתפרצות.

בגרסה הפשוטה ביותר, מה שנקרא מודלים תאים (ראה Kermack וחב' [12], Hetthcote [9]) מתייחסים לשבריר האוכלוסייה שהוא רגיש (S), נגוע (I) או הוסר (R) מרשת המחלות. משוואות דיפרנציאליות מצמדות לוכדות את הדינמיקה של המחלה שקובעת את תלות הזמן של S, I ו-R. הרחבות מוסיפות תאים נוספים למודל ה-SIR (Sensitible Infected Removed) כגון (E) שנחשף.

לדוגמה, מודל SEIR (Sensitible Exposed Infected Removed) שימש את Lekone ו- Finkenstädt [15] לתיאור התפרצות האבולה ברפובליקה הדמוקרטית של קונגו בשנת 1995. מודלים תאים יושמו כדי לתאר את ה-SARS-CoV האחרון{ {3}} התפרצויות. פרסומים נבחרים הם Giordano et al. [7], Krishna and Prakash [13], Tagliazucchi et al. [21], Lin et al. [16], Anastassopoulou et al. [1], Wu et al. [23]. לדוגמה, המודל המשוכלל של Giordano et al. משתמש בסך הכל ב-8 תאים - רגישים (S), נגועים (I), מאובחן (D), חולה (A), מזוהה (R), מאוים (T), נרפא (H) ונכחד (E) - כדי לתאר את מגפת נגיף הקורונה 2019 (COVID-19) באיטליה.

מודלים תאים הורחבו על ידי Dureau et al. [4] ללכוד השפעות לא ידועות מבחינה סטוגסטית, כגון שינוי התנהגויות. מודלים כאלה שימשו לאחרונה לניתוח התפרצות COVID-19 בווהאן על ידי Kucharski et al. [14]. מודל SEIR מגיפה מורחב חדש, תוך התחשבות בסיווג חברתי-פוליטי של התערבויות שונות, הוצע על ידי Proverbio et al. [18] להערכת הערך של מספר גישות דיכוי.

מודלים תאים מתייחסים לכמויות גלובליות כמו חלקם של אנשים רגישים ומניחים שמשוואות קצב היוריסטיות יכולות לתאר את הדינמיקה של המחלה. במקרים של רשת (חברתית) מאוד לא הומוגנית, למשל בהתחשב בצפיפות אוכלוסין שונה, ההנחה לעיל לא תמיד נראית מוצדקת. במקרים אלה, ניתן לתאר דפוסי התפשטות מחלות מרחביות על ידי מודל רשת סטוכסטי עם הדמיות מונטה-קרלו בחירה נפוצה עבור הסימולציה.

במאמר זה, אנו מתייחסים לדינמיקה של מחלה שבה משך (חומרת) המחלה תלוי בכמות החשיפה. באמצעות רשת אלמנטרית (חברתית), אנו מחפשים מנגנונים אוניברסליים המתארים התפשטות מגיפה. נחשוף קשר לתורת השדות הסטטיסטית, המאפשר לנו לאפיין התפרצות בכלים של תופעות קריטיות. נדון בהשפעת הממצאים על מדיניות לבלימת התפרצות ונסיים את התפרצות הקורונה-19 בווהאן, מחוז הוביי, סין.

2 דוגמנות

2.1 יסודות הדגם

כל אחד מקיים אינטראקציה עם ארבעה 'שכנים' של הרשת החברתית. התפשטות המחלה מתוארת כתהליך סטוכסטי. בכל שלב בזמן (נניח 'יום'), ההסתברות שאדם יידבק (או יחלים) תלויה בסטטוס של השכנים ברשת החברתית. כאן אנו לומדים רק את המקרה הפשוט של רשת הומוגנית עם ארבעה שכנים לכל אתר. אנו שוקלים גם תנאי גבול תקופתיים כדי למזער השפעות קצה.

2.2 חסינות

אנו חוקרים שני תרחישים הקשורים זה לזה.

(ט) אין חסינות. כל אדם יכול להידבק מחדש ויכול להחלים רק כדי להיות רגיש שוב (מודל SIS)

(ii) אנשים יכולים להידבק מחדש ולהחלים. רק אם אנשים נשארים נגועים במשך τ ימים רצופים, הם נחשבים חסינים.

במקרה (ii), האתרים של אנשים חיסוניים מוסרים מרשת המחלות.

2.3 דינמיקה של מחלות

אם x הוא אתר של רשת המחלה, בכל שלב בזמן, המצב ux ∈ {0, 1} נבחר באקראי בהסתברות

כאשר xy הוא קישור יסודי בסריג המצטרף לאתרים x ו-y, ומכאן, n הוא מספר השכנים הנגועים, ו-Nx =1 ועוד exp{4 nx ועוד 2h} הוא הנורמליזציה. הפרמטר h מקושר להסתברות להידבק במחלה מחוץ לרשת. אם אף אחד ברשת לא נגוע (nx=0, ∀x), ההסתברות p שכל אדם נדבק במחלה קשורה ל-h ב-p=exp{2h} 1 פלוס exp{2h} .

הפרמטר מתאר את מדבקות המחלה. ההסתברות שאדם כלשהו יידבק (UX=1) עולה באופן מונוטוני עם 4 נקס פלוס 2 שעות. לפיכך, הפרמטר מתאר עד כמה ההסתברות הזו תלויה בחשיפה רגישה, כלומר, מספר nx של שכנים נגועים.

אם הסריג מכיל N אינדיבידואלים (כלומר, אתרים), שלב חד פעמי נאמר שהושלם אם שקלנו N אתרים שנבחרו באקראי עבור העדכון.

3 המגיפה התפשטה כתופעה קריטית

3.1 שיא שיעור ההדבקה

תרחיש (ii) מראה את התפתחות הזמן האופיינית של מגיפה כאשר שיעור ההדבקה מתקרב לאפס במשך פעמים רבות, עקב גורמים מתאוששים ומספר הולך וגדל של חסינות. לעומת זאת, לתרחיש (i) יש מצב אסימפטוטי בלתי תלוי מהמצב ההתחלתי ומתואר על ידי תורת השדות הסטטיסטית. לאחר השינוי של המשתנה zx=2ux – 1, המצב האסימפטוטי מתואר על ידי פונקציית החלוקה של מודל Ising, Ising [11], Friedli and Velenik [6]:

עם H=h פלוס 4, שהיא פונקציית המחיצה הידועה עבור Ising ספינים z בשדה מגנטי חיצוני H. דינמיקת המחלה של תרחיש (i) מתאימה לשרשרת מרקוב של עדכונים מקומיים במודל Ising עם זמן מרקוב מזוהה כזמן אמת.

עבור שדה חיצוני H הולך ונעלם, המודל מציג התנהגות קריטית עם מעבר פאזה ב-{{0}} c=ln(1 פלוס √2)/2 ≈ 0.44 . בשלב המסודר עבור > c, הסתברות זרע קטנה p > 0 מפעילה שיעור זיהום קרוב ל-100 אחוז מהאוכלוסייה. המודל נמצא בשלב 'המגפה'. עבור < c, המודל נמצא בשלב 'תגובה', כלומר, שיעור ההדבקה הוא בתגובה להסתברות הזרע p, אך לא מתרחשת התפרצות. ניתן לחשב את שיעור הזיהום האסימפטוטי באמצעות שיטות Markov Chain Monte-Carlo (MCMC). התחלה, למשל, ללא גורמים נגועים (ux=0 או zx=–1), כל שלב זמן (ראה סעיף 2) יוצר מדגם אחד של התפשטות המחלה. כל דפוס מחלה תלוי רק ביום הקודם, ורצף הימים יוצר שרשרת מרקוב.

לאחר זמן מה, הנקרא בפיסיקה סטטיסטית 'זמן תרמליזציה', שיעור הזיהום היומי מתחיל לנוע סביב הממוצע, כלומר השיעור האסימפטוטי. הקצב האסימפטוטי אינו תלוי בפרטי הסימולציה אם מתקיימים תנאי MCMC מסוימים.

בין אלה, ארגודיסטיות מופרת בקלות בשלב המגפה עבור מה שנקרא אלגוריתמי העדכון המקומי, ובעיקר המטרופוליס-האסטינגס, הייסטינגס [8]. כאן, השתמשנו באלגוריתם האשכולות Swendsen–Wang המתקדם, שמתפקד היטב בשני השלבים, ראה Swendsen and Wang [20]. הממצאים המספריים שלנו מסוכמים באיור 1, לוח שמאל. עקומה (2) מפרידה בין שני השלבים - שלב המגפה ומשטר התגובה.'

3.2 חסינות

הבה נלמד כעת תרחיש (ii), שבו אנשים יכולים לפתח חסינות אם הם נדבקים במשך τ ימים רצופים. עבור τ > tth, שיא שיעור ההדבקה הוא זה של המצב האסימפטוטי של המודל המקביל (i), ומכאן, יורש את שלב הסיווג 'מגפה' או 'תגובה'. זה מודגם באיור 1, לוח ימין, עבור שלב המגיפה עבור מספר ערכים של τ. איור 2 ממחיש את ההתנהגות השונה בתכלית של המחלה שהתפשטה בשלב המגיפה (= 0.41, p=5 אחוזים) ואת משטר התגובה (= 0.38, p {{7} } אחוזים). התוצאות הן עבור רשת N=100 × 100 ו-τ=11. שים לב שהעקומה של 'נגוע פלוס חיסוני' (סמל 'משולש') בשלב המגפה אינה עולה באופן מונוטוני עם הזמן, מכיוון שהפרטים הנגועים יכולים לחזור למצב 'רגישים', כלומר, לא כל פרט נגוע הופך לחסין. שימו לב שבמשטר התגובה (סמל 'עיגול' ו'ריבוע'), שיא ה'פאנדמי' נעדר לחלוטין. עם זאת, בצד החיסרון, מה שמכונה 'חסינות העדר' מתפתחת לאט עם הזמן.

3.3 השוואה לנתונים

אנו מדגישים כי הנחת המודל של רשת הומוגנית (חברתית) עם 'ארבעה שכנים' אינה מציאותית. מחקר של רשת מחלות הטרוגנית הוא עבודה בתהליך. הידע של רשת המחלות הבסיסית חיוני לביצוע תחזיות כמותיות, למשל הערך הקריטי c של ההדבקה. כאן, אנו מאמצים גישה שונה: אנו מניחים שהתפתחות הזמן האיכותית של כמויות בתפזורת, כגון חלק מהפרטים הנגועים, נמצאת בהישג יד של תרחיש המודל (ii) ומשתמשים באלו כפונקציות התאמה כדי לקבוע את פרמטרי המודל כגון , p ו- τ בהשוואה לנתונים בפועל. לצורך מחקר זה, השתמשנו בנתונים מהתפרצות COVID-19 בשנת 2020 בעיר ווהאן, מחוז הוביי בסין, יו [24] (לגישה ל-16 באפריל 2020). הנתונים על מספר האנשים הנגועים מראים קפיצה ביום 73 (בסולם הזמן השרירותי) ב-40 אחוזים, הנובעת משינוי בדיווח.
אנו מניחים שאותו 'תת דיווח' התרחש בימים שלפני כן. בהנחיית העובדה שהתפלגות ההסתברות (שיעור הנגועים) היא פונקציה רציפה, תיקנו את הנתונים על ידי הכפלת מספר הנגועים (והנגועים בתוספת שהחלימו) בפקטור של 1.4 עבור פעמים t פחות או שווה ל-73. תנו ל-D(t, τ, , p) להיות חלק מאוכלוסיית הפרטים הנגועים כפונקציה של הזמן t ובהתאם לפרמטרים τ (זמן לפתח חסינות), (מדבקות) ו-p (הסתברות זרעים) כדי לקבל נגוע. חישבנו את D(t, τ, , p) באמצעות סריג N=250 × 250. בדקנו שהתוצאה אינה תלויה בגודל הסריג בטווח האחוזים של הפרמטרים הרלוונטיים למחקר זה. אם Dwuhan(t) מכמת את הערכים הנמדדים עבור מספר הנדבקים בהתפרצות ווהאן, אנו רוצים להעריך את הנתונים הללו, כלומר,

Dwuhan(t) ≈ NpopD(t – ts, τ , , p)

עם בחירה מתאימה של הפרמטר Npop, ts, ו-p., מכיוון שההיסט של ציר הזמן בנתוני ווהאן הוא שרירותי, בחרנו את ההיסט כך שהפסגות של הנתונים המדומים והנתונים הנמדדים יתאימו. כל שאר הפרמטרים מטופלים כאל פרמטרי התאמה. פרמטרים אלה הושגו על ידי התאמת המודל לנתונים הנגועים בלבד. בסך הכל, Npop ≈ 68k, ts ≈ 50, τ ≈ 21, ≈ 0.48, p ≈ 3.3 אחוזים.

התוצאות עבור 'החלים פלוס נגועים' ו'אימוניות' הן אז תחזיות מודל. ניתן להשוות את הראשון לנתונים בפועל כדי לאמוד את כדאיות המודל.

נתוני המודל חורגים מהנתונים בימים הראשונים של התפשטות המגיפה, מה שעלול להיות קשור לדיווח חסר עקב יכולות בדיקה מוגבלות. מעניין להבחין שעקומת שיעור ההדבקה היא אסימטרית: שיפוע העלייה בתחילתו גדול משיפוע הירידה לאחר המקסימום. כמו כן, נראה שמספר הנדבקים מתייצב לערך שאינו אפס. במודל הנוכחי, זה מוסבר באופן הבא: עם יותר סוכנים חסינים, קשה יותר לגורמים רגישים להידבק ברציפות למשך זמן גדול או שווה ל-τ, וכך, לפתח חסינות. אנו מוצאים גם שרק כ-30 אחוז מהנגועים (והחלימו) מפתחים חסינות.

4 מסקנות ופרשנויות

מוצע סוג חדש של מודל מחלות סטוכסטיות: סוכנים יכולים להחלים מזיהום והם רגישים שוב. הם מפתחים חסינות רק אם הזיהום שלהם נמשך יותר מזמן אופייני τ. עבור τ → ∞, שיעור ההדבקה מתואר על ידי תורת השדות הסטטיסטית. עבור τ סופי, שיעור ההדבקה של תורת השדות מספק גבול עליון של שיעור ההדבקה של המודל הדינמי. זה פותח את האפשרות לאפיין את דינמיקת המחלה לאור תופעות קריטיות של תורת השדה העומדת בבסיסה: התפשטות מגיפה תואמת את השלב המסודר של תורת השדה, והערך הקריטי להדבקות הוא זה של מעבר השלב. המחלה נמצאת במצב תגובה ניתן לשליטה אם תורת השדה המקבילה נמצאת בשלב הפרוע.

הזנב הכבד של הירידה במספר הנדבקים, שמתייצב בערכים שאינם אפס, הוא תכונה אינהרנטית של המודל וניתן לייחס אותו לעובדה שניתן להדביק מחדש סוכנים. ברשת עם חלק נכבד של חומרים חיסוניים, זה יותר ויותר מאתגר לפתח חסינות. אם הנחות המודל הללו היו מבוססות על חקירות רפואיות, השגת 'חסינות עדר' הייתה קשה. זה אמור להשפיע על ההחלטה באיזו מידה מתמקדים המאמצים בפיתוח תרופה או חיסון.

תודות

אני מודה לורנץ פון סמקל (גייסן) על הדיונים וההערות המועילות על כתב היד. אני אסיר תודה לפול מרטין (לידס) על דיונים מעניינים בשלב המוקדם של הפרויקט הזה.

מימון

הפרויקט לא קיבל מימון חיצוני.

קיצורי מילים

SARS-CoV-2, תסמונת נשימה חריפה חמורה וירוס קורונה 2; COVID-19, מחלת נגיף הקורונה 2019; מודל SIS, מודל רגישים לזיהום; דגם SIR, דגם רגישים מודבקים שהוסר; דגם SEIR, דגם רגישים חשופים נגועים שהוסר; MCMC, רשת מרקוב מונטה-קרלו.

זמינות נתונים וחומרים

הנתונים המשמשים לניתוח התפרצות ווהאן זמינים לציבור מ- Yu [24] (לגישה ל-16 באפריל 2020) או מהמחבר לפי בקשה.

אינטרסים מתחרים

המחבר מצהיר שאין להם אינטרסים מתחרים.

תרומות מחברים

לכתב היד יש מחבר יחיד. כל התרומות הן מהמחבר הזה. המחבר קרא ואישר את כתב היד הסופי.

מידע של מחברים

קורט לנגפלד הוא פרופסור (יו"ר) לפיזיקה תיאורטית וראש בית הספר למתמטיקה באוניברסיטת לידס, בריטניה. תחומי ההתמחות שלו הם השיטות המספריות להדמיית תיאוריות שדה קוונטיות ופיזיקה סטטיסטית. הוענק לו תואר Ph.D. בפיזיקה תיאורטית מהאוניברסיטה הטכנית של מינכן בשנת 1991. בין 1991 ל-2006, הוא התבסס באוניברסיטת טובינגן, גרמניה, כחוקר ומרצה. במהלך חופשות היעדרות, הוא נהנה מביקורי מחקר במוסדות בינלאומיים: הוא בילה שנה אחת ב-CEA, Saclay, פריז במענק מחקר של DFG, והוא הוזמן פעמיים כפרופסור אורח ב-KIAS, סיאול, דרום קוריאה. ב-1999 עבר את ה"הבילציה" וקיבל את ה-Venia Legendi.

בשנת 2005 הוא הפך לפרופסור לפיזיקה תיאורטית באוניברסיטת טובינגן. המחקר שלו הביא אותו לאוניברסיטת פלימות', בריטניה, בשנת 2006, לאוניברסיטת ליברפול כפרופסור וראש המחלקה למדעי המתמטיקה, בשנת 2016, לפני שהתחיל את תפקידו בלידס. הוא שימש כסוקר עבור המועצה לחקר הנדסה ומדעי הפיזיקה (EPSRC), המועצה האוסטרית FWF והמרכז הלאומי למחשוב-על של שוויץ (CSCS). הוא סוקר באופן קבוע כתבי יד שהוגשו לכתבי עת בעלי פרופיל גבוה בפיזיקה של חלקיקים ופרסם יותר מ-100 מאמרים בכתבי עת אלה.

הערת המוציא לאור

Springer Nature נשאר ניטרלי לגבי תביעות שיפוט במפות שפורסמו ובשיוכים מוסדיים.

הפניות

Anastassopoulou C, Russo L, Tsakris A, Siettos C. ניתוח, מודלים וחיזוי מבוססי נתונים של התפרצות COVID-19. PLoS ONE. 2020;15:e0230405. https://journals.plos.org/plosone/article/metrics?id=10.1371/journal.pone. 0230405. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0230405.

2. Becker NG, Britton T. מחקרים סטטיסטיים של שכיחות מחלות זיהומיות. JR Stat Soc, Ser B, Stat Methodol. 1999;61(2):287–307. https://doi.org/10.1111/1467-9868.00177.

3. Brauer F, Castillo-Chavez C, Feng Z. מודלים מתמטיים באפידמיולוגיה. ברלין: ספרינגר; 2019.

4. Dureau J, Kalogeropoulos K, Baguelin M. לכידת המניעים המשתנים בזמן של מגיפה באמצעות מערכות דינמיות סטוכסטיות. ביוסטטיסטיקה. 2013;14(3):541–55. https://doi.org/10.1093/biostatistics/kxs052.

5. Ferguson NM, Cummings DAT, Cauchemez S, Fraser C, Riley S, Meeyai A, Iamsirithaworn S, Burke DS. אסטרטגיות לבלימת מגיפת שפעת המתהווה בדרום מזרח אסיה. טֶבַע. 2005;437(7056):209–14. https://doi.org/10.1038/nature04017.

6. Friedli S, Velenik Y. מכניקה סטטיסטית של מערכות סריג: מבוא מתמטי קונקרטי. קיימברידג': הוצאת אוניברסיטת קיימברידג'; 2017. https://doi.org/10.1017/9781316882603. ,

7. Giordano G, Blanchini F, Bruno R et al. בניית מודל של מגיפת הקורונה-19 ויישום התערבויות כלל אוכלוסיות באיטליה. נאט מד. 2020;26:855–60. https://www.nature.com/articles/s41591-020-0883-7. https://doi.org/10.1038/s41591-020-0883-7.

For more information:1950477648nn@gmail.com